Siatka obliczeniowa to skończenie wymiarowa rodzina \( T_{hp} \) elementów skończonych \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \), takich że

\( \cup_{K \in T_{hp}} = \Omega \), \( \textrm{ meas} K_i \cap K_j = K_i \textrm{ dla } i=j; 0 \textrm{ dla } i \neq j \)

Dla danej siatki obliczeniowej \( T_{hp}= \{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) siatka referencyjna to rodzina \( T_{\frac{h}{2}p+1} \) elementów skończonych \( T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \), takich że

\( \forall K \in T_{\frac{h}{2}p+1} \exists K_1,K_2,K_3,K_4 \in {\cal P}(T_{hp},K) \), takie że
\( K=K_1\cup K_2 \cup K_3 \cup K_4, \textrm{meas}K_i \cap K_j=K_i \textrm{ dla } i=j; 0 \textrm{ dla } i \neq j \),
\( X(K_1),X(K_2),X(K_3),X(K_4) \in {\cal P}(T_{hp},X(K)), dim X(K)=\\ dim(K_1)+7=dim(K_2)+7=dim(K_3)+7=dim(K_4)+7 \), gdzie
\( {\cal P}(T_{hp},K) \) i \( {\cal P}(T_{hp},X(K)) \) oznaczają projekcje na pierwszy i drugi komponent \( \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \).
Wzór wymiaru przestrzeni funkcji kształtu na nowych czterech elementach wynika z dodania siedmiu nowych funkcji kształtu, stosownie poprzez zwiększenie stopnia wielomianów o 1 we wnętrzu elementu w kierunku poziomym i pionowym (co daje w sumie trzy dodatkowe wielomiany - jeden ze stopniem zwiększonym w kierunku pionowym, drugi ze stopniem zwiększonym w kierunku poziomym, i trzeci ze stopniami zwiększonymi w obydwu kierunkach oraz 4 nowe funkcje kształtu uzyskane poprzez dodanie nowych wielomianów na krawędziach elementów, ze stopniem wielomianów zwiększonych o 1).

Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) to
\( V_{hp }= \{ v \in C(\Omega): \forall K \in {\cal P }( T_{hp},K): {\cal P }( v,K) \in X(K) \} \),
gdzie \( {\cal P }( T_{hp},K) \) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową, \( {\cal P }( v,K) \) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.

Niech \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) oznacza dwuwymiarową siatkę obliczeniową.
Niech \( \{ e_i^{hp} \}_i \) oznacza bazę przestrzeni \( V_{hp }= span\{ e_i^{hp} \} \).
Niech \( \chi^K_k \in X \left( K\right) \) oznacza funkcje kształtu nad elementem \( K \).
Wówczas \( \forall K \in {\cal P }( T_{hp},K), \forall i, \exists k : {\cal P}(e_i^{hp},K) = \chi^K_k \).
Istnieje odwzorowanie odwrotne \( {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I} \), które przypisuje numer
\( i(k,K) \) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem \( K \).
W przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.

Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową \( T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) to
\( V_{\frac{h}{2}p+1 }= \{ v \in C(\Omega): \forall K \in {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K): {\cal P }( v,K) \in X(K) \} \),
gdzie \( {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K) \) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową, \( {\cal P }( v,K) \) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.

Niech \( T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) oznacza dwuwymiarową siatkę referencyjną.
Niech \( \{ e_i^{\frac{h}{2}p+1} \}_i \) oznacza bazę przestrzeni \( V_{\frac{h}{2}p+1 }= span\{ e_i^{\frac{h}{2}p+1} \} \).
Niech \( \chi^K_k \in X \left( K\right) \) oznacza funkcje kształtu nad elementem \( K \).
Wówczas \( \forall K \in {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K), \forall i, \exists k : {\cal P}(e_i^{\frac{h}{2}p+1},K) = \chi^K_k \).
Istnieje odwzorowanie odwrotne \( {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I} \), które przypisuje numer
\( i(k,K) \) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem \( K \).
W przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.

Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową referencyjną siatką obliczeniową \( T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \), to \( V_{\frac{h}{2}p+1}=span \{ e_j^{\frac{h}{2}p+1} : \forall K \in {\cal P}(T_{\frac{h }{2}p+1},K), \forall \phi_j \in X(K), \exists ! e_i^{\frac{h}{2}p+1} :{\cal P }( e_i^{\frac{h}{2}p+1 },K)=\psi_k \} \), gdzie \( e_i^{\frac{h}{2}p+1} \) to globalna funkcja bazowa (element bazy przestrzeni \( V_{\frac{h}{2}p+1} \) ) oraz \( \psi_k \) to lokalna funkcja kształtu nad elementem \( K \),
\( {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I} \) to odwzorowanie przypisujące numer \( i(k,K) \) globalnej funkcji bazowej związanej z lokalną \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem \( K \).

Dla danej siatki obliczeniowej \( T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) znaleźć współczynniki \( \{ u^{hp}_i \}_{i=1,...,N^{hp}} \) rozwiązania przybliżonego \( V \supset V_{hp } \ni u_{hp }=\sum_{i=1,...,N^{hp } } u_i^{hp } e_i^{hp } \), takie że \( \sum_{m=1,...,N^{hp } } u_m^{hp } B(e_m^{hp},e_n^{hp})=L(e_n^{hp}) n=1,...,N^{hp} \), gdzie
\( B(e_m^{hp},e_n^{hp})= \int_{\Omega} \left( \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial e_n^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j }\right. \\ \left. + \sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j } e_n^{hp}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{hp}(x_1,x_2) \right) dx_1 dx_2 + \)
\( +\int_{\Gamma_R} \beta(x_1,x_2) e_m^{hp}(x_1,x_2) e_n^{hp}(x_1,x_2) ds \)
\( L(e_n^{hp})= \int_{\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{hp}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \int_{\Gamma_R} g(x_1,x_2) e_n^{hp}(x_1,x_2) ds \).
Baza \( \{ e^{hp}_i \}_{i=1,...,N^{hp}} \) przestrzeni aproksymacyjnej \( V_{hp} \) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni \( X\left(K\right) = {\cal P}(T_{hp},X(K)) \) dla poszczególnych elemetów z siatki \( T_{hp} \) w globalne funkcje bazowe.

Dla danej siatki obliczeniowej \( T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K \) znaleźć współczynniki \( \{ u^{\frac{h}{2}p+1}_i \}_{i=1,...,n^{\frac{h}{2}p+1}} \) rozwiązania przybliżonego \( V \supset V_{\frac{h}{2}p+1 } \ni u_{\frac{h}{2}p+1 }=\sum_{i=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1 } } u_i^{\frac{h}{2}p+1 } e_i^{\frac{h}{2}p+1 } \), takie że \( \sum_{m=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1 } } u_m^{\frac{h}{2}p+1 } B(e_m^{\frac{h}{2}p+1},e_n^{\frac{h}{2}p+1})=L(e_n^{\frac{h}{2}p+1}) n=1,...,N^{hp} \)
\( B(e_m^{\frac{h}{2}p+1},e_n^{\frac{h}{2}p+1})= \int_{\Omega} \left( \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j }\right. \\ \left. + \sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j } e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) \right) dx_1 dx_2 + \)
\( +\int_{\Gamma_R} \beta(x_1,x_2) e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds \)
\( L(e_n^{\frac{h}{2}p+1})= \int_{\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \int_{\Gamma_R} g(x_1,x_2) e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds \).
Baza \( \{ e^{\frac{h}{2}p+1}_i \}_{i=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1}} \) przestrzeni aproksymacyjnej \( V_{hp} \) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni \( X\left(K\right) = {\cal P}(T_{\frac{h}{2}p+1},X(K)) \) dla poszczególnych elemetów z siatki \( T_{\frac{h}{2}p+1} \) w globalne funkcje bazowe.